抛物面零件尺寸的准确计算及其在五金制品设计中的应用
【摘要】 为解决抛物面零件的准确设计和拉深毛坯的准确计算问题，本 文推导了抛物线旋转体的体积和表面积的求解公式，详细描述了它在五金制品设计中的应用 。
【主题词】 抛物面 体积 面积 毛坯
--------------------------------------------------------------------------------
1 前言
目前，不锈钢等金属制品正在开发。为了达到外形美观，这类产品的外形有不少 是抛物线旋转体或其一部分。但由于手册资料中查不到抛物线旋转体积和表面体的计算公式 (文献〔1〕给出了以作图方式求解旋转体表面积的方法，既繁琐又不准确)，因此 抛物线旋转体产品的准确设计和拉深毛坯的精确计算无法进行。本文运用微积分〔2〕 推 导了抛物线旋转体的体积和表面积的准确表达式，并给出了在五金制品设计中的应用实例。
2 抛物线旋转体体积和表面积公式的推导
2.1 抛物线方程
抛物线的一般方程是y=ax2+bx+c
移动y轴过抛物线的顶点，抛物线方程可简化为y=ax2+c。
2.2 抛物线旋转体的体积
现求图1所示的抛物线y=ax2+c绕y轴旋转一周形成的抛物线旋转体的体积。
设抛物线旋转体两底面半径为R,r,高为h，因为坐标P(r,0)和Q(R,h)满足方程y=ax+2+c所以
有0=ar2+ch=aR2+c解此方程组，得
a=h/(R2-r2) c=-hr2/(R2-r2)
故方程为y=h/(R2-r2)x2-hr2/(R2-r2)
简记为y=Ax2-B
式中 A=h/(R2-r2）
B=hr2/(R2-r2)
图1 抛物线参数图
平移坐标轴，使该抛物线的顶点成为新坐标系αO′β的原点O′，见图2。
图2 体积用图
点O′的y坐标是-|B|，
在新坐标系αO′β中，抛物线方程为β=Aα2
即α=Sqr（β／A）
坐标变为P(r,B),Q(R,B+h)，
由微积分知识知，抛物线旋转体的体积
V=∫(B+h)/B(πα2dβ)
=π∫(B+h)/Bβ/A*(dβ)=πβ2/2A](B+h)/h
=π/2A〔(B+h)2-h2〕
=π/2(R2+r2)h…………(1)
2.3 抛物线旋转体的表面积
由旋转曲面的特点，知抛物线β=Aα2绕β轴旋转一周生成的曲面方程为β=A(α2+γ 2),见图3。
图3 表面积用图
用求解曲面面积的公式，求抛物线旋转体的表面积(侧面积)S。
由δβ/δα=2Aα，δβδγ=2Aγ
Sqr（1+(δβ/δα)2+(δβ/δγ)2)=
Sqr（1+4A2(α2+γ2))
得S=XDSqr（1+δβ/δα)2+δβ/δγ)2)*dαdγ
=XDSqr（1+4A2(α2+γ2))*dαdγ
.
.
.
式中 T=4h2(R2-r2)2
2.4 完整抛物线旋转体的体积和表面积
所谓完整抛物线是指抛物线有顶点，即r=0的情况。
对于完整抛物线，令r=0,代入(1)(2)两式可得结果：
V=π2R2h ……(3)
式中 T=4h2/R4
3 在五金制品设计中的应用
这主要有两方面的应用，一是拉深毛坯计算，二是产品设计。表面积公式主要用 于求拉深毛坯尺寸，体积公式主要用于求产品的容积，抛物线方程用于描述抛物线(产品)的 轨迹。
3.1 拉深毛坯计算
拉深毛坯计算采用公式(2)或(4)。例如：有一国外引进的不锈钢碗，底面是圆，侧表面是抛 物曲面。测得碗口直径160mm，碗底直径70mm,碗高67mm，不锈钢厚0.8mm。若要生产这种不 锈钢碗出口，求所需拉深毛坯的直径。
取修边余量3mm，则R=80,r=35,h=67+3=70,由公式(2)得：
T=4h2(R2-r2)2=
4×702(802-352)2=7.319×10-4
碗侧部表面积S侧=
2π3T〔(1+TR2)3-(1+Tr2)3〕
=2π3×7.319×10-4×〔(1+7.319×10-4×802)3-(1+7.319×10-4×352)3〕=9964.93π